Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A、B（點A在點B左側），與y軸交于點C（0，-3），且拋物線的對稱軸是直線x=1．
（1）求b的值；
（2）點E是y軸上一動點，CE的垂直平分線交y軸于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．當線段PQ=

3

4

AB時，求點E的坐標；
（3）若點M在射線CA上運動，過點M作MN⊥y軸，垂足為N，以M為圓心，MN為半徑作⊙M，當⊙M與x軸相切時，求⊙M的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸公式列式計算即可得解；
（2）寫出拋物線解析式，令y=0求出點A、B的坐標，從而得到AB的長，再求出PQ的長，然后根據拋物線的對稱性求出點P的橫坐標，再代入拋物線計算求出點P的縱坐標，即可得到點F的坐標，求出CF，再根據線段垂直平分線的定義求出點E的坐標即可；
（3）設直線CA的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求一次函數解析式求出CA的解析式y=-3x-3，然后設出圓心M的坐標（m，-3m-3），再根據⊙M與x軸相切，可得點M的橫坐標與縱坐標的長度相等，然后列方程求解m的值，即可得到⊙M的半徑．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴-

b

2×1

=1，
∴b=-2；

（2）∵b=-2，點C（0，-3），
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
令y=0，則x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
點A坐標為（-1，0），點B坐標為（3，0），
∴AB=4，
又∵PQ=

3

4

AB，
∴PQ=3，
∵PQ⊥y軸，
∴PQ∥x軸，
∴點P的橫坐標為1-

3

2

=-

1

2

，
將點P的橫坐標代入y=x²-2x-3中，得y=（-

1

2

）²-2×（-

1

2

）-3=-

7

4

，
∴點P坐標為（-

1

2

，-

7

4

），
∴點F坐標為（0，-

7

4

），
∴FC=-

7

4

-（-3）=

5

4

，
∵PQ垂直平分CE，
∴CE=2FC=2×

5

4

=

5

2

，
∴點E在OC上，且OE=3-

5

2

=

1

2

，
∴點E的坐標為（0，-

1

2

）；


（3）設直線CA的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 b=-3

，
解得

k=-3 b=-3

，
所以，直線CA的解析式為y=-3x-3，
設圓心M的坐標（m，-3m-3），
則MN=|m|，
∵⊙M與x軸相切，
∴|-3m-3|=|m|，
∴3m+3=m或3m+3=-m，
∴m=-

3

2

或m=-

3

4

，
∴⊙M的半徑為

3

4

或

3

2

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了拋物線的對稱軸公式，二次函數圖象的對稱性，線段垂直平分線上的定義，直線與圓相切，圓心到直線的距離等于圓的半徑，作出圖形更形象直觀．