Question

已知：如圖，DABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD．

1.求證：∠DAC ＝∠DBA；

2.求證：是線段AF的中點

3.若⊙O 的半徑為5，AF ＝，求tan∠ABF的值．

 

Answer 1

 

1.∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA  

∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC＝∠CBD 

∴∠DAC ＝∠DBA        (2分)

2.∵AB為直徑，∴∠ADB＝90° 

又∵DE⊥AB于點E，∴∠DEB＝90°  ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°

∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP 

∴PD＝PA    

又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC

∴∠PDF＝∠PFD                    

∴PD＝PF   ∴PA＝ PF  即P是線段AF的中點   （3分）

3.∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB

∴    

∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD＝，即tan∠ABF＝  （3分）

解析:（1）根據圓周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可；

（2）首先得出∠ADB=90，再根據∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，從而得出PA=PF；

（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案．