Question

（2006•煙臺）如圖，已知點C在⊙O上，延長直徑AB到點P，連接PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圓弧上一動點，當M點運動到使△ABM的面積最大時，CM交AB于點N，求MN•MC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證得∠CAB=∠BCP，從而有∠PCB+∠OCB=∠ACO+∠OCB=90°，故PC是圓的切線．
（2）由題意知，M為的中點．過M作⊙O的直徑MD，連接CD．易得∠COB=60°，圓的半徑OB=3，又由于△MNO∽△MDC，則有，從而求得MN•MC的值．
解答：（1）證明：連接BC，∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∵∠COB=2∠PCB，∠BOC=2∠OAC，
∴∠CAB=∠BCP．
∴∠PCO=90°．
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：由題意知，M為的中點，
過M作⊙O的直徑MD，連接CD，
∵AC=PC，
∴∠OAC=∠P．
∵∠BOC=2∠OAC，
∴∠BOC=2∠P．
∴∠P=30°．
∴2OC=OB+PB．
∴OB=3．
∵M為的中點，
∴OM⊥AB．
∵∠MON=∠MCD=90°，∠NMO=∠DMC，
∴△MNO∽△MDC．
∴．
即MN•MC=MO•MD=3×6=18．
點評：本題利用了直徑對圓周角是直角，切線的概念，三角形的外角與內角的關系，等邊對等角，直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質求解．