Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連結DE、OE.

1.試判斷DE與⊙O的位置關系并證明

2.求證：BC＝2CD·OE；

3.若tanC=,DE=2，求AD的長

 

Answer 1

【答案】

 

1.DE與⊙O相切.……………………………………1分

證明：連接OD，BD。………………………………2分

∵AB是直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°.

∵E是BC的中點，∴DE=BE=CE.  ∴∠EBD=∠EDB.

∵OD=OB，   ∴∠OBD=∠ODB.

∴∠EDO=∠EBO=90°.  ∴DE與⊙O相切.………………4分

2.∵OE是△ABC的中位線，∴AC=2OE……………5分

∴△ABC∽△BDC.…………………………………………6分

∴= .   即BC²=CD·AC.

∴BC=2CD·OE.……………………………………………7分

3.

【解析】

（3）∵tanC=，∴可設BD=，CD=2x.…………8分

在Rt△BCD中，.解之，得x=±(負值舍去)

∴BD==……………………………………9分

∵tan∠ABD=tan∠C,∴AD=BD=.………………………………10分