Question

如圖，已知PA、PB切⊙O于A、B兩點．連接AB且PA、PB的長分別是方程x²-2mx+3=0的兩根，AB=m，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：首先用切線的性質及根的判別式求出m的值即AB的長，代入原方程得出兩根即PA、PB的長，則可得AB=PA=PB，即可證得△ABP為等邊三角形，∠APB=60°，則∠APO=30°，再用正切公式求出OA的長及圓的半徑．

解答：解：∵PA、PB切⊙O于A、B兩點，
∴PA=PB，
∵PA、PB的長分別是方程x²-2mx+3=0的兩根，
∴△=（-2m）²-4×3=0，
∴m²=3，m＞0，
∴m=

3

，
∴x²-2

3

x+3=0，
∴x₁=x₂=

3

，
∴PA=PB=AB=

3

，
∴△ABP等邊三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
∵PA=

3

，
∴OA=1．
即⊙O的半徑為1．

點評：此題考查了圓的性質、根的判別式、含30°角的直角三角形的性質以及等邊三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．