Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC上一點（除端點外），過點A，B，P作⊙O．
（1）指出圓心O的位置；
（2）當BP=3時，判斷CD與⊙O的位置關系；
（3）當CD與⊙O相切時，求BC被⊙O截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）∠ABP是圓周角，則AD是圓的直徑，因而圓心是AP的中點．
（2）CD與⊙O相離，可以說明CD到圓心的距離大于半徑．
（3）因為CD與⊙O相切，則OF是梯形APCD的中位線．在直角△ABP中根據勾股定理就可以得到．

解答：解：（1）根據90°的圓周角所對的弦是直徑，則圓心O為AP的中點；

（2）過圓心O作EF∥AD交AB、CD于點E、F；
∵AB=BP=3，
∴AP=3

2

，
∴OP=

3

2

2

，
∵OE=

1

2

BP=1.5，
∴OF=2.5，
∵2.5＞

3

2

2

，
∴CD與⊙O相離；

（3）連接HP，交OF于點G，
∵AP是直徑，
∴∠AHP=90°，
又∵OF⊥CD，
∴OF∥AD，
∵O是AP的中點，
∴G是HP的中點，
∴OG=

1

2

AH，
又∵GF=DH=PC
∴OF=

1

2

(AD+PC)，
∵CD與⊙O相切，F為切點，設BP=x，則PC=4-x，
在直角△ABP中，AP=

AB2+BP2

=

9+x2

，
∴OF=

1

2

AP=

9+x2

2

∴

1

2

[4+（4-x）]=

9+x2

2

，
解得：x=

55

16

．
∴PB=

55

16

．

點評：此題主要考查切線的判定與性質及矩形的性質等知識點的綜合運用．