Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直徑，AE⊥CD交CD延長線于點E．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若AE=2，CD=3，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）證AE是⊙O的切線，即證AB⊥AE即可；
（2）根據切割線定理，可將DE的長求出，再由△ACE∽△BAC可將AB的長求出．
解答：證明：（1）∵AB∥CD且AE⊥CD，
∴AB⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；

（2）連接AC，根據切割線定理：AE²=ED•EC，
設DE=x，則2²=x（x+3），
解得：x₁=1，x₂=-4（舍去），
即：DE=1，
在Rt△ACE中，AC²=AE²+CE²，
∴AC²=20，
∵∠ACB=∠E，∠CAE=∠B，
∴△ACE∽△BAC，
∴，
∴AB=5．
點評：本題考查了切線的判定，在求解直徑的過程中要運用切割線定理和相似三角形的判定．