Question

如圖，一個含45°的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點作EF⊥AE交∠DCE的角平分線于F點，試探究線段AE與EF的數量關系，并說明理由．
（1）求證：∠DAE=∠BEA；
（2）探究線段AE與EF的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質得出AD∥BE，根據平行線的性質即可得到答案；
（2）AE=EF．根據正方形的性質推出AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，推出∠HAE=∠CEF，根據△HEB是以∠B為直角的等腰直角三角形，得到BH=BE，∠H=45°，HA=EC，根據CF平分∠DCE推出∠AHE=∠FCE，根據ASA證△HAE≌△CEF即可得到答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA；

（2）答：AE=EF．
理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
又∵∠DAE=∠BEA（已證），
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B為直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-BA=BE-BC=EC，
又∵CF平分∠DCE，
∴∠FCE=

1

2

×90°=45°=∠EHA，
在△HAE和△CEF中

∠EHA=∠FCE AH=EC ∠HAE=∠CEF

∴△HAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．

點評：本題主要考查對正方形的性質，平行線的性質和判定，角平分線的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是證此題的關鍵，題型較好，綜合性強．