Question

如圖，矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，且OA=5，OC=3，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)O落在線段CB上，設(shè)落點(diǎn)為P，折痕為EF．
（1）當(dāng)CP=2時(shí)，恰有OF=

13

4

，求折痕EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在折疊中，點(diǎn)P在線段CB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CP=x（0≤x≤5），過(guò)點(diǎn)P作PT∥y軸交折痕EF于點(diǎn)T，設(shè)點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為y，請(qǐng)用x表示y，并判斷點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)形成什么樣的圖象；
（3）請(qǐng)先探究，再猜想：怎樣折疊，可使折痕EF最長(zhǎng)？并計(jì)算出EF最長(zhǎng)時(shí)的值．（不要求證明）

Answer 1

分析：（1）Rt△PCE中，根據(jù)勾股定理得到OE，CE，得到點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
（2）易證Rt△PTH≌Rt△OEH，進(jìn)而證明Rt△OEH∽R(shí)t△OPC，就可以求出y與x的函數(shù)解析式．
（3）猜想：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF最長(zhǎng)，易證Rt△EOA∽R(shí)t△PCO，就可以解決．

解答：解：（1）設(shè)OE=y，則CE=3-y，
∵點(diǎn)P是點(diǎn)0關(guān)于直線EF翻折的對(duì)稱點(diǎn)，
在Rt△PCE中，有CE²+CP²=PE²，y=

13

6

，OF=

13

4

，
∴點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（0，

13

6

），（

13

4

，0），
∴折痕EF所在直線的解析式為y=-

2x

3

+

13

6

．

（2）由題意，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，y），連接OP，交EF于點(diǎn)H，
∵由已知得點(diǎn)0折疊后落到點(diǎn)P上，由翻折的對(duì)稱性可知，
∴EF為OP的垂直平分線，
∴OH=PH，
∴Rt△PTH≌Rt△OEH，
∴PT=OE，（5分）
Rt△OEH∽R(shí)t△OPC，
UP=x，
OE=

OH•OP

OC

=

(x2+9)

6

=PT，
又PT=3-y，
y=-

x2

6

+

3

2

（0≤x≤5），
所以點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)形成的圖形是開口向下的拋物線的一部分，
另法：由題意：點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，y），連接OP、OT．
由翻折性質(zhì)得：OT=PT，
OT2=x²+y²，PT=3-y，
∴x²+y²=9-6y+y²
∴y=-

x2

6

+

3

2

（0≤x≤5），
所以點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)形成的圖形是開口向下的拋物線的一部分．

（3）猜想：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF最長(zhǎng)，（10分）
此時(shí)，仍設(shè)CP=x，EA為OP的垂直平分線，則有：EA⊥OP，
∴Rt△EOA∽R(shí)t△PCO．
OE=

5x

3

．
又由（2）可知：OE=

(x2+9)

6

，
解得x=1或x=9，
又∵O≤x≤5，
∴x=1，
∴OE=

5

3

，
∵在Rt△OEA中，OA=5．
∴EF=

5 10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，是三角形與函數(shù)的綜合題，難度較大．