Question

如圖，⊙O的半徑均為R．
（1）請在圖①中畫出弦AB，CD，使圖①為軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；請在圖②中畫出弦AB，CD，使圖②仍為中心對稱圖形；
（2）如圖③，在⊙O中，AB=CD=m（0＜m＜2R），且AB與CD交于點E，夾角為銳角α．求四邊形ACBD的面積（用含m，α的式子表示）；
（3）若線段AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB=CD=

2

R，你認為在以點A，B，C，D為頂點的四邊形中，是否存在面積最大的四邊形？請利用圖④說明理由．

Answer 1

（1）答案不唯一，如圖①、②



（2）過點A，B分別作CD的垂線，垂足分別為M，N，
∵S_△ACD=

1

2

CD?AM=

1

2

CD?AE?sinα，S_△BCD=

1

2

CD?BN=

1

2

CD?BE?sinα，
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD=

1

2

CD?AE?sinα+

1

2

CD?BE?sinα
=

1

2

CD?（AE+BE）sinα=

1

2

CD?AB?sinα=

1

2

m²?sinα．

（3）存在．分兩種情況說明如下：
①當AB與CD相交時，由（2）及AB=CD=

2

R知S_{四邊形ACBD}=

1

2

AB?CD?sinα=R²sinα，
②當AB與CD不相交時，如圖④．



∵AB=CD=

2

R，OC=OD=OA=OB=R，
∴∠AOB=∠COD=90°．
而S_{四邊形ABCD}=S_Rt△AOB+S_Rt△OCD+S_△AOD+S_△BOC=R²+S_△AOD+S_△BOC
延長BO交⊙O于點E，連接EC，
則∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S_△AOD=S_△OCE
∴S_△AOD+S_△BOC=S_△OCE+S_△BOC=S_△BCE
過點C作CH⊥BE，垂足為H，
則S_△BCE=

1

2

BE?CH=R?CH．
∴當CH=R時，S_△BCE取最大值R²
綜合①、②可知，當∠1=∠2=90°．
即四邊形ABCD是邊長為

2

R的正方形時，S_{四邊形ABCD}=R²+R²=2R²為最大值．