Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．
（1）分別求出圖中直線和拋物線的函數表達式；
（2）連接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知B、C的坐標，利用待定系數法進行求解即可．
（2）由于四邊形POP′C為菱形，OC必為對角線，進而可知OC的中垂線與y軸右邊的拋物線部分的交點即為P點，且P點的縱坐標為OC長的一半的相反數，最終可得P點的坐標．

解答：解：（1）設直線BC的解析式為：y=mx+n，有：

3m+n=0 n=-3

，
解得：m=1，n=-3；
∴直線BC：y=x-3．
將點B、C的坐標代入y=x²+bx+c中，得：

9+3b+c=0 c=-3

，
解得：b=-2，c=-3；
∴拋物線：y=x²-2x-3．

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，所以點P必在OC的垂直平分線上，則點P的縱坐標為-

3

2

，代入拋物線y=x²-2x-3中，得：
-

3

2

=x²-2x-3，
解得 x₁=

2+ 10

2

，x₂=

2- 10

2

（舍去）
∴點P（

2+ 10

2

，-

3

2

）．

點評：本題考查了用待定系數法求函數解析式，以及圖形對稱變換，菱形的判定，點的坐標的確定，一元二次方程的求解．（2）題中，首先根據菱形的性質確定點P的縱坐標是解題的關鍵所在．