Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），且滿足（a+b）2+|a-b+4|=0，過點C作CB⊥x軸于B.

（1）如圖1，求△ABC的面積.

（2）如圖2，若過B作BD∥AC交y軸于D，在△ABC內有一點E，連接AE.DE，若∠CAE+∠BDE=∠EAO+∠EDO，求∠AED的度數.

（3）如圖3，在（2）的條件下，DE與x軸交于點M，AC與y軸交于點F，作△AME的角平分線MP，在PE上有一點Q，連接QM，∠EAM+2∠PMQ=45°，當AE=2AM，FO=2QM時，求點E的縱坐標.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）45°；（3）1

【解析】

（1）由題意可求a=-2，b=2，即可得點A，點C坐標，即可求△ABC的面積；

（2）根據題意可求∠CAE+∠BDE=∠EAO+∠EDO=45°，根據三角形內角和可求∠AED的度數；

（3）如圖3，先根據三角形的中位線定理可得：QM=，過E作EG⊥x軸于G，設∠PMQ=x，則∠EAM=45-2x，證明MQ⊥AE，利用面積法可得：S△AEM=AEMQ＝AMEG，可得EG=1，即點E的縱坐標是1．

（1）∵（a+b）2≥0，|a-b+4|≥0，（a+b）2+|a-b+4|=0，

∴a=-b，a-b+4=0，

∴a=-2，b=2，

∵CB⊥AB

∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2），

∴△ABC的面積=×4×2=4；

（2）如圖2，連接AD，

∵BD∥AC，

∴∠CAD+∠BDA=180°，

∵∠OAD+∠ODA=90°，

∴∠CAB+∠BDO=90°，

∵∠CAE+∠BDE=∠EAO+∠EDO，

∴∠CAE+∠BDE=∠EAO+∠EDO=45°，

△ADE中，∠AED=180°-（∠EAO+∠EDO）-（∠OAD+∠ODA）=180°-45°-90°=45°；

（3）如圖3，

∵OF∥BC，OA=OB=2，

∴AF=FC，

∴OF=BC=1，

∵OF=2QM，

∴QM=，

過E作EG⊥x軸于G，

設∠PMQ=x，則∠EAM=45-2x，

由（2）知：∠EAM+∠EDO=45°，

∴∠EDO=45°-（45°-2x）=2x，

∴∠EMG=∠OMD=90°-2x，

∵PM平分∠AME，

∴∠AMP=∠PME==45°+x，

∴∠QPM=∠EAM+∠AMP=45°-2x+45°+x=90°-x，

∴∠QPM+∠PMQ=90°，

∴MQ⊥AE，

S△AEM=AEMQ＝AMEG，

∵AE=2AM，

∴2AM=AMEG，

∴EG=1,即點E的縱坐標是1．