Question

如圖，∠PAQ是直角，半徑為5的⊙O與AP相切于點T，與AQ相交于兩點B、C．
（1）BT是否平分∠OBA？證明你的結論；
（2）若已知AT=4，試求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OT，AT是切線，則OT⊥AP，可以證明AB∥OT，得到∠TBA=∠BTO，再根據等邊對等角得到∠OTB=∠OBT，就可以證出結論；
（2）過點B作BH⊥OT于點H，然后在Rt△OBH中，利用OB=5，BH=AT=4根據勾股定理求出OH，最后即可求出AB．
解答：解：（1）BT平分∠OBA，
證明：連接OT，
∵AT是切線，
∴OT⊥AP；
又∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP，
∴AB∥OT，
∴∠TBA=∠BTO．
又∵OT=OB，
∴∠OTB=∠OBT．
∴∠OBT=∠TBA，即BT平分∠OBA；

（2）過點B作BH⊥OT于點H，則四邊形OMBH和四邊形ABHT都是矩形．
則在Rt△OBH中，OB=5，BH=AT=4，
∴OH===3，
∴AB=HT=OT-OH=5-3=2．
點評：本題主要考查了切線的性質定理，以及等角對等邊等知識，此題的解題方法比較多，靈活性比較高．