Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點B的坐標為（0，4），BC平分∠ABO交x軸于點C（2，0）．點P是線段AB上一個動點（點P不與點A，B重合），過點P作AB的垂線分別與x軸交于點D，與y軸交于點E，DF平分∠PDO交y軸于點F．設點D的橫坐標為t．

（1）如圖1，當0＜t＜2時，求證：DF∥CB；

（2）當t＜0時，在圖2中補全圖形，判斷直線DF與CB的位置關系，并證明你的結論；

（3）若點M的坐標為（4，-1），在點P運動的過程中，當△MCE的面積等于△BCO面積的倍時，直接寫出此時點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）求出∠PBO+∠PDO=180°，根據角平分線定義得出∠CBO=∠PBO，∠ODF=∠PDO，求出∠CBO+∠ODF=90°，求出∠CBO=∠DFO，根據平行線的性質得出即可；
（2）求出∠ABO=∠PDA，根據角平分線定義得出∠CBO=∠ABO，∠CDQ=∠PDO，求出∠CBO=∠CDQ，推出∠CDQ+∠DCQ=90°，求出∠CQD=90°，根據垂直定義得出即可；
（3）分為兩種情況：根據三角形面積公式求出即可．

（1）證明：如圖1．
∵在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點B的坐標為（0，4），
∴∠AOB=90°．
∵DP⊥AB于點P，
∴∠DPB=90°，
∵在四邊形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，
∴∠PBO+∠PDO=180°，
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴∠CBO=∠PBO，∠ODF=∠PDO，
∴∠CBO+∠ODF=（∠PBO+∠PDO）=90°，
∵在△FDO中，∠OFD+∠ODF=90°，
∴∠CBO=∠DFO，
∴DF∥CB．
（2）直線DF與CB的位置關系是：DF⊥CB，
證明：延長DF交CB于點Q，如圖2，

∵在△ABO中，∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∵在△APD中，∠APD=90°，
∴∠PAD+∠PDA=90°，
∴∠ABO=∠PDA，
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴∠CBO=∠ABO，∠CDQ=∠PDO，
∴∠CBO=∠CDQ，∵在△CBO中，∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠CDQ+∠DCQ=90°，
∴在△QCD中，∠CQD=90°，
∴DF⊥CB．
（3）解：過M作MN⊥y軸于N，
∵M（4，-1），
∴MN=4，ON=1，
當E在y軸的正半軸上時，如圖3，

∵△MCE的面積等于△BCO面積的倍時，
∴×2×OE+×（2+4）×1-×4×（1+OE）=××2×4，
解得：OE=，
當E在y軸的負半軸上時，如圖4，

×（2+4）×1+×（OE-1）×4-×2×OE=××2×4，
解得：OE=，
即E的坐標是（0，）或（0，-）．