Question

現需測量一井蓋（圓形）的直徑，但只有一把角尺（尺的兩邊互相垂直，一邊有刻度，且兩邊長度都長于井蓋半徑）．請配合圖形、文字說明測量方案，寫出測量的步驟．（要求寫出兩種測量方案）

Answer 1

分析：利用90度的圓周角對的弦是直徑，把角尺頂點放在井蓋邊緣，記角尺一邊與井蓋邊緣交于點B，另一邊交于點C（若角尺另一邊無法達到井蓋的邊上，把角尺當直尺用，延長另一邊與井蓋邊緣交于點C），度量BC長即為直徑．

解答：
解：解法一：如圖（1），把井蓋卡在角尺間，可測得AB的長度，記井蓋所在圓的圓心為O，連接OB、OC，由切線的性質得OB⊥AB，OC⊥AC，又AB⊥AC，OB=OC，則四邊形ABOC為正方形，
那么井蓋半徑OC=AB，這樣就可求出井蓋的直徑；

解法二：如圖（2），把角尺頂點A放在井蓋邊緣，記角尺一邊與井蓋邊緣交于點B，另一邊交于點C（若角尺另一邊無法達到井蓋的邊上，把角尺當直尺用，延長另一邊與井蓋邊緣交于點C），度量BC長即為直徑；

解法三：如圖（3），把角尺當直尺用，量出AB的長度，取AB中點C，然后把角尺頂點與C點重合，有一邊與CB重合，讓另一邊與井蓋邊緣交于D點，延長DC交井蓋邊于E，度量DE長度即為直徑；

解法四：如圖（4），把井蓋卡在角尺間，記錄B、C的位置，再把角尺當作直尺用，可測得BC的長度．
記圓心為O，作OD⊥BC，D為垂足，由垂徑定理得BD=DC=

1

2

BC，且∠BOD=∠COD．
由作圖知∠BOC=90°，∴∠BOD=

1

2

×90°=45°，在Rt△BOD中，BO=

BD

sin45°

，這樣就可求出井蓋的半徑，進而求得直徑；

解法五：如圖（5），把角尺當作直尺用，先測得AB的長度，記錄A、B的位置，再量AC=AB，記錄C的位置，然后測得BC的長度，作等腰三角形BAC底邊BC上的高AD，D為垂足，∵AD垂直平分BC，∴由垂徑定理的推論可知AD一定過圓心O，由BD=

1

2

BC，可求出BD，∵AB已測出，∴在Rt△BDA中，根據勾股定理可求出AD，那么，在Rt△BDO中，OB²=BD²+OD²=BD²+（AD-AO）²
設井蓋半徑為r，則r²=BD²+（AD-r）²，∵BD、AD都已知，∴解一元二次方程就可求出井蓋的半徑r，這樣就可求出井蓋的直徑．
注：學生的其他測量方案只要符合題目要求，且是可行的都應得分，寫出一種方案得（4分），兩種方案得（8分）．

點評：本題需仔細分析題意，利用圓的知識即可解決問題．