Question

如圖，已知一四邊形菜地ABCD為菱形，點E，F分別位于邊AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF為等邊三角形．
（1）求∠A的度數；
（2）求菱形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）過E作AD，BC的垂線交AD和CB的延長線于H，G．易得△BGE∽△AHG，若設BG=x，GE=y，則EH=5y，AH=5x，
在△FGE和△DEH中根據勾股定理可以用x，y表示出EF，ED．此時得到一個方程組，解出x，y的值就不難得到∠A的度數；
（2）在直角△AHE中根據三角函數可以求出高EH．則得到菱形的高GH的長，根據菱形的面積公式就可以求出．

解答：解：（1）如圖，過E作AD，BC的垂線交AD和CB的延長線于H，G．
∵AD∥CB，
∴△BGE∽△AHE，
∵AB=AD=6，
∴AE=BF=5，CF-BE=1，
令BG=x，GE=y，
則EH=5y，AH=5x，
在△FGE中，EF=

(5+x)2+y2

，
在△DEH中，ED=

(6-5x)2+25y2

，
根據EF=ED，BE=1，易得EF²=ED²，
即有

(5+x)2+y2=(6-5x)2+25y2 x2+y2=1

，
解得x=

1

2

，y=

3

2

，
∴tan∠A=

EH

AH

=

y

x

=

3

，
∴∠A=60°；

（2）由以上求得知，EH=AEsin60°=

5 3

2

，EG=

3

2

，GH=3

3

，
故S菱形ABCD=AD•GH=18

3

．

點評：在解直角三角形的一個角的度數時，可以轉化為求三角函數的值，已知三角函數值就可以求出角的度數．