Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA．

【小題1】請用含t的代數式表示出點D的坐標；
【小題2】求t為何值時，△DPA的面積最大，最大為多少
【小題3】在點P從O向A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值．
若不能，請說明理由；
【小題4】請直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長．

Answer 1

【小題1】過點D作DE⊥x軸，垂足為E，則△PED∽△COP，∴
，，故D（t+1，）
【小題2】S=
∴當t=2時，S最大，最大值為1
【小題3】∵∠CPD=90⁰，∴∠DPA+∠CPO=90⁰，∴∠DPA≠90⁰，故有以下兩種情況：
①當∠PDA=90⁰時，由勾股定理得，又，
，，
即，解得，（不合題意，舍去）
②當∠PAD=90⁰時，點D在BA上，故AE=3－t，得t=3
綜上，經過2秒或3秒時，△PAD是直角三角形
【小題4】；解析:
略