Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F
（1）求證：四邊形ODCE是正方形；
（2）若BC=5、AC=12，⊙O的半徑為R，求R的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的內切圓得出∠OED=∠ODE=90°，OE=OD，根據正方形的判定即可推出答案；
（2）根據勾股定理求出AB，根據三角形的面積得出S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC，代入求出即可．
解答：（1）證明：∵△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB，
∴∠OED=∠ODE=90°，OE=OD，
∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE是正方形；

（2）解：BC=5，AC=12，由勾股定理得：AB=13，
連接OA、OB、OC、OF，
∵S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC，
∴AC×BC=×AB×OF+AC×OE+BC×OD，
∴5×12=13R+12R+5R，
∴R=2．
答：R的值是2．
點評：本題主要考查對正方形的判定，三角形的內切圓與內心，勾股定理，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵．