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如圖,在矩形ABCD中,點E在邊AD上,連接BE,∠ABE=30°,BE=DE,連接BD.點M為線段DE上的任意一點,過點M作MN∥BD,與BE相交于點N.
(1)如果,求邊AD的長;
(2)如圖1,在(1)的條件下,如果點M為線段DE的中點,連接CN.過點M作MF⊥CN,垂足為點F,求線段MF的長;
(3)試判斷BE、MN、MD這三條線段的長度之間有怎樣的數量關系?請證明你的結論.

【答案】分析:(1)根據矩形的四個內角都是直角、對邊相等的性質求得AB=CD,∠A=∠ADC=90°.然后在Rt△ABE中利用特殊角的三角函數值求得AB、AE、BE及DE的值;所以由AD=AE+DE求得AD的值即可;
(2)連接CM.在Rt△ABD中,利用勾股定理求得BD=4,然后利用直角三角形的邊角關系求得∠ADB=30°,由平行線MN∥BD的內錯角相等知,∠AMN=∠ADB=30°;再由平行線MN∥BD分線段成比例求得MN的長度;最后在Rt△CDM中利用邊角關系、勾股定理求解;
(3)過點E作EF⊥BD,垂足為點F(圖1).由已知條件BE=DE,EF⊥BD,求得BD=2DF;然后在Rt△DEF中,利用邊角關系求得BD與BE的數量關系;再有平行線MN∥BD分線段成比例解得EN與MN的關系.
解答:解:(1)由矩形ABCD,得AB=CD,∠A=∠ADC=90°.
在Rt△ABE中,∵∠ABE=30°,
,BE=2AE=4.(2分)
又∵BE=DE,∴DE=4.
于是,由AD=AE+DE,得AD=6.(2分)


(2)連接CM.
在Rt△ABD中,.(1分)
∴BD=2AB,即得∠ADB=30°.
∵MN∥BD,∴∠AMN=∠ADB=30°.(1分)
又∵MN∥BD,點M為線段DE的中點,
∴DM=EM=2,
.(1分)
在Rt△CDM中,
∴∠CMD=60°,即得CM=4,∠CMN=90°.(1分)
由勾股定理,得
于是,由MF⊥CN,∠CMN=90°,
.(1分)

(3).(1分)
證明如下:過點E作EF⊥BD,垂足為點F.
∵BE=DE,EF⊥BD,∴BD=2DF.(1分)
在Rt△DEF中,由∠EDB=30°,
,即得.(1分)
∵MN∥BD,∴,即得,BN=DM.
.(1分)
于是,由BE=BN+EN,得
點評:本題結合矩形的性質考查了平行線分線段成比例、勾股定理的應用、直角三角形的解法.本題是利用圖形間的角、邊關系求解.
練習冊系列答案
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A、精英家教網B、精英家教網C、精英家教網D、精英家教網

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(2)若AB=
2
,BC=2,求⊙O的半徑.

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(1)求y與x的函數關系式;
(2)x為何值時,y的值最大,最大值是多少?
(3)若設線段AB的長為m,上述其它條件不變,m為何值時,函數y的最大值等于3?

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