Question

【題目】如圖，邊長為a的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是異于A、D兩點的動點，F是CD上的動點，滿足AE+CF＝a，△BEF的周長最小值是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接BD，可證△ABE≌△DBF，可得BE＝BF，可得△BEF為等邊三角形，可得，△BEF的周長為3BE，所以當BE垂直AD時，可求△BEF的周長最小值．

解：連接BD

∵ABCD是菱形，∠DAB＝60°

∴AB＝AD＝CD＝BC＝a，∠C＝∠A＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°

∴△ADB，△BDC為等邊三角形，

∴∠ADB＝∠ABD＝60°＝∠BDC＝∠DBC，AD＝BD＝a．

∵AE+CF＝a，AE+ED＝a，CF+DF＝a

∴DF＝AE，DE＝CF，

∵AE＝DF，BD＝AB，∠A＝∠CDB

∴△AEB≌△DFB

∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF

∵∠ABE+∠DBE＝60°

∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°

∴△BEF為等邊三角形.

∴△BEF的周長＝3BE

根據(jù)垂線段最短，即當BE⊥AD時，BE值最小．

在Rt△AEB中，AB＝a，∠A＝60°

∴AE＝a，BE＝a

∴△BEF的周長最小值是，

故選：B．