Question

國家推行“節能減排，低碳經濟”政策后，環保節能設備的產品供不應求．某公司購進了A、B兩種節能產品，其中A種節能產品每件成本比B種節能產品多4萬元；若購買相同數量的兩種節能產品，A種節能產品要花120萬元，B種節能產品要花80萬元．已知A、B兩種節能產品的每周銷售數量y（件）與售價x（萬元/件）都滿足函數關系y=-x+20（x＞0）．
（1）求兩種節能產品的單價；
（2）若A種節能產品的售價比B種節能產品的售價高2萬元/件，求這兩種節能產品每周的總銷售利潤w（萬元）與A種節能產品售價x（萬元/件）之間的函數關系式；并說明A種節能產品的售價為多少時，每周的總銷售利潤最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）設B種節能產品的單價為m萬元，A種節能產品的單價為（m+4）萬元，根據購買相同數量的兩種節能產品，A種節能產品要花120萬元，B種節能產品要花80萬元，可得出方程，解出即可；
（2）根據總利潤=A種產品的利潤+B種產品的利潤=A種產品單件利潤×銷量+B種產品單件利潤×銷量，可得出w與x的函數關系式，利用配方法求最值即可．
解答：解：（1）設B種節能產品的單價為m萬元，A種節能產品的單價為（m+4）萬元，
由題意得：，
解得：m=8
經檢驗m=8是原方程的解，
則m+4=12．
答：A種節能產品的單價為12萬元，B種節能產品的單價為8萬元．

（2）A種節能產品售價x（萬元/件），則B種節能產品的售價為（x-2）（萬元/件），
由題意得，w=（x-12）（-x+20）+（x-2-8）[-（x-2）+20]，
即w=-2x²+64x-460w=-2（x²-32x+230）=-2（x-16）²+52
當x=16時，w取得最大，w_最大為52．
答：每周的總銷售利潤w（萬元）與A種節能產品售價x（萬元/件）之間的函數關系式為w=-2（x-16）²+52，當種節能產品的售價為16（萬元/件）時，每周的總銷售利潤最大．
點評：本題考查了二次函數的應用及分式方程的應用，難點在第二問，注意仔細審題得出w與x的函數關系式，熟練掌握配方法求二次函數最值得應用．