Question

天羽服裝廠生產M、N型兩種服裝，受資金及規模限制，每天最多只能用A種面料68米和B種面料62米生產M、N型兩種服裝共80套．已知M、N型服裝每套所需面料和成本如下表，設每天生產M型服裝x套．

	A	B	成本
M型	1.1m	0.4m	100元
N型	0.6m	0.9m	80元

（1）若要每天成本不高于7200元，則該廠每天生產M型服裝最多多少套，最少多少套？
（2）經市場調查，生產的M、N型服裝有兩種銷售方案（假設每天生產的服裝都能全部售出）．
方案Ⅰ：兩種型號服裝都在本市銷售，M型180元/件、N型120元/件；
方案Ⅱ：N型服裝在本市銷售，120元/件，M型服裝批發給H市服裝商，其每件的批發價y（元）與批量x（件）之間的關系如圖所示．
如果你是廠長，應采用哪種銷售方案可使每天獲利最大，最大利潤是多少？并確定相應的生產方案．

Answer 1

【答案】分析：（1）設每天生產M型x套，則N型為（80-x）套，有每種型號服裝的用料情況，以及總成本的上限可列三個不等式，解之得x的范圍，從而求解．
（2）方案一：由題意列出W₁的表達式再根據20≤x≤40，轉化為求函數最值問題．
方案二：有一次函數圖象可求出函數關系式為y=-2x+240，即W₂=（120-80）（80-x）+（-2x+240-100）x=-2（x-25）²+4450轉化為求函數最值問題，最后比較兩方案，找到可以獲得最大利潤，從而求解．
解答：解：（1）設每天生產M型x套，則N型為（80-x）套，有每種型號服裝的用料情況，以及總成本的上限可列三個不等式，
即依題意有，
解之得20≤x≤40，
∴該廠每天生產M型服裝最多40套，最少20套；

（2）設方案Ⅰ所獲利潤為W₁元，方案Ⅱ所獲利潤為W₂元，
∴W₁=（180-100）x+（120-80）（80-x）
=40x+3200，
∵k=40＞0，W₁隨x的增大而增大，
又∵20≤x≤40，
∴當x=40時，W₁最大=4800，
由圖可知y=-2x+240，
∴W₂=（120-80）（80-x）+（-2x+240-100）x
=-2x²+100x+3200
=-2（x-25）²+4450，
∵a=-2＜0，
∴當x=25時，W₂最大=4450，
∵4800＞4450，
∴選方案Ⅰ可以獲得最大利潤，最大利潤為4800元，
生產方案：生產M型40套，N型40套．
點評：此題主要考查了二次函數的性質及應用，還考查不等式的性質，兩種方案，選擇利潤最大化，可將其轉化為求函數最值問題，此題難易程度適中．