Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．
（1）求證：△AFO≌△CEB；
（2）若EB=5cm，CD=cm，設OE=x，求x值及陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）AB是直徑得出∠ACB=90°，推出OF∥BC，得到∠AOF=∠B，由BE=OF可得△AFO≌△CEB；
（2）連接OD，由EB=5cm，CD=cm可得∠B=60°，因為OB=OC，則△OBC是等邊三角形，所以∠BOC=60°，則弧CD所對的圓心角是120°．由垂徑定理和勾股定理可得半徑是10cm，則扇形COD的面積為因為OE=5cm，所以△COD的面積為，即可求出陰影部分面積．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OF⊥AC，
∴OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，
∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∵OF⊥AC，
∴∠AFO=∠BEC=90°，
∵在△AFO和△CEB中
，
∴△AFO≌△CEB（ASA）；

（2）解：連接OD，
由垂徑定理得：CE=DE=5cm，
∵EB=5cm，
∴∠ABC=60°，因為OB=OC，
則△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
則弧CD所對的圓心角是120°，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：x²=+（x-5）²，
x=10（cm），則扇形COD的面積為=cm²，
∵OE=5cm，
∴△COD的面積為×10×（10-5）=25（cm²）
∴陰影部分面積為：（-25）cm²．
點評：本題考查了全等三角形的判定、扇形的面積和三角形的面積、勾股定理、平行線的性質和判定的綜合應用，用了方程思想．