Question

如圖，兩圓同心，半徑分別為6與8，又矩形ABCD的邊AB和CD分別為小大兩圓的弦．則當矩形ABCD面積最大時，求此矩形的周長．

Answer 1

解：作OM⊥AD于點M，ON⊥AB于點N，OP⊥BC于點P．則四邊形ANOM是矩形．
∴S_△AOM=S_△AON，
同理，S_△OBN=S_△OPB，
∵ON⊥AB，
∴AN=BN，則OM=OP，
∴△OAM≌△OBP
∴S_△AOM=S_矩形AMPB，
同理，S_△OMD=S_矩形MPCD，
∴S_△AOD=S_矩形ABCD．
又∵S_△AOD=OA•OD•sin∠AOD=×6×8sin∠AOD=24sin∠AOD，
當∠AOD=90°時，S_△AOD的面積最大，此時矩形ABCD的面積最大．
在直角△AOD中，OA=6，OD=8，
∴AD===10，則BC=AD=10．
∵S_△AOD=AD•OM=OA•OB，
∴OM===4.8cm．
∴AB=CD=2AN=2OM=9.6cm．
則矩形ABCD的周長是：2（9.6+10）=39.2cm．
分析：根據垂徑定理可以證明S_△AOM=S_矩形AMPB，然后根據S_△AOD=OA•OD•sin∠AOD，當∠AOD=90°，矩形的面積最大，即可求得AD的長，AB就是AD的弦心距的2倍，根據直角三角形的面積即可求解，進而求得矩形的周長．
點評：本題主要考查了垂徑定理的應用，利用垂徑定理可以把求弦長或圓心角的問題轉化為解直角三角形的問題．