Question

如圖，AB為⊙O的直徑，在BA的延長線上取點P，使PA=

1

2

AB，弦CD⊥AB且過OA的中點，連接AC、PC．
（1）求證：直線PC是⊙O的切線；
（2）若AC=2，F為⊙O上一點，CD上的點Q為△CAF的內心，求線段DQ的長．

Answer 1

分析：（1）連OC，先證明三角形AOC是等邊三角形再證明∠PCO=90°．
（2）先求出CD的長，再證出三角形ACO是直角三角形，并求出它的三邊長，這樣就可求出它的內切圓半徑，求出CQ，最后得到DQ．

解答：解：（1）連OC，
∵弦CD⊥AB且過OA的中點，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°．
又∵PA=

1

2

AB，
∴PA=AO=AC．
∴△PAO是直角三角形即∠PCO=90°．
∴直線PC是⊙O的切線．

（2）過Q點作QE⊥AC，Q點為垂足．
∵CD上的點Q為△CAF的內心，而CD是平分∠ACO的．
∴C，O，F共線即CF為直徑．
若AC=2，則等邊三角形OAC的高CH為

3

，所以CD=2

3

．
∠F=30°，則CF=4，AF=2

3

，所以直角三角形ACF的內切圓半徑QE=

2+ 2 3  -4

2

=

2 3 -2

2

．
∴CQ=2QE=2

3

-2．
∴DQ=2

3

-（2

3

-2）=2．

點評：掌握直線是圓的切線的幾何證明方法就是轉化為證明垂直．含30°的直角三角形三邊的關系記住對幾何計算很有幫助．掌握三角形內心的性質即它是三條角平分線的交點和它到三邊的距離相等，對于直角三角形還要記住它的內切圓半徑等于兩直角邊和與斜邊差一半．