Question

【題目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F為BE的中點，連結DF，CF．

(1)如圖①，當點D在AB上，點E在AC上，請直接寫出此時線段DF，CF的數量關系和位置關系．

(2)如圖②，在(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45°，請你判斷此時(1)中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷．

(3)如圖③，在(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉90°，若AD＝1，AC＝，求此時線段CF的長(直接寫出結果)．

Answer 1

【答案】(1) DF＝CF，DF⊥CF；(2)(1)中的結論仍然成立，證明見解析；(3)CF＝．

【解析】

（1）根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=CF，根據∠DFE=2∠DBF，∠CFE=2∠CBF，得到∠EFD+∠EFC=2∠ABC=90°，DF⊥CF．
（2）延長DF交BC于點G，先證明△DEF≌△GBF，得到DE＝GB，DF＝GF，根據AD=DE，AB=BC，得到DC＝GC又因為∠ACB=90°，所以DF=CF且DF⊥CF．
（3）延長DF交BA于點H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，根據旋轉條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=2，可以求出AB的值，進而可以根據勾股定理可以求出DH，再求出DF，求出得CF的值．

(1) DF＝CF． DF⊥CF．

(2)(1)中的結論仍然成立．證明如下：

如解圖①，延長DF交BC于點G．

∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，

∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．

∵F為BE的中點，∴EF＝BF，

∴△DEF≌△GBF(AAS)，

∴DE＝GB，DF＝GF．

∵AD＝DE，∴AD＝GB．

∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即DC＝GC．

∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．

∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF．

(3)CF＝．