Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．
（1）求證：BC平分∠PDB；
（2）求證：BC²=AB•BD；
（3）若PA=6，PC=6，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由PD為圓O的切線，利用切線的性質得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC與BD平行，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，再由OC=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換即可得證；
（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到△ABC為直角三角形，根據一對直角相等，以及第一問的結論得到一對角相等，確定出△ABC與△BCD相似，由相似得比例，變形即可得證；
（3）由切割線定理列出關系式，將PA，PC的長代入求出PB的長，由PB-PA求出AB的長，確定出圓的半徑，由OC與BD平行得到△PCO與△DPB相似，由相似得比例，將OC，OP，以及PB的長代入即可求出BD的長．
解答：（1）證明：連接OC，
∵PD為圓O的切線，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBD=∠OBC，
則BC平分∠PBD；

（2）證明：連接AC，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴=，即BC²=AB•BD；

（3）解：∵PC為圓O的切線，PAB為割線，
∴PC²=PA•PB，即72=6PB，
解得：PB=12，
∴AB=PB-PA=12-6=6，
∴OC=3，PO=PA+AO=9，
∵△OCP∽△BDP，
∴=，即=，
則BD=4．
點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．