Question

對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）．下列說法：
①若△=b²-4ac＞0，那cx²+bx+a=0么一定有兩個不相等的實數根；
②若a+b+c=0，那么ax²+bx+c=0一定有一個根是1；
③若x是ax²+bx+c=0的一個根，那么△=；
④若b²＞5ac，那么ax²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數根．
其中正確的說法的個數是（ ）
A．4個
B．3個
C．2個
D．1個

Answer 1

【答案】分析：①△=b²-4ac＞0，判斷方程cx²+bx+a=0也一定有兩個不等的實數根，只要證明方程的判別式的值大于0即可；
②若x=1是方程ax²+bx+c=0的一個根，則代入即可作出判斷；
③難度較大，用到了求根公式表示x．
④根據b²＞5ac可以得到b²-4ac＞0，從而證得方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數根．
解答：解：①△=b²-4ac＞0，所以方程cx²+bx+a=0有兩個不相等的實數根，而當c=0時卻只有一個實數根，故錯誤；

②∵么ax²+bx+c=0一定有一個根是1，
∴a+b+c=0；
③若x是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，可得x=，
把x的值代入（2ax+b）²，可得b²-4ac=（2ax+b）^2；

④∵b²＞5ac，
∴b²-5ac＞0，
∴b²-4ac＞0，
∴方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數根．
故選B．
點評：此題主要考查了根的判別式及其應用．尤其是④難度較大，用到了求根公式表示x，整體代入求b²-4ac=（2ax+b）²．
總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．