Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，點E在AD邊上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，易得∠A=∠D=90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF=∠ABE，則可證得△ABE∽△DEF；
（2）由（1）：△ABE∽△DEF，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得，又由AB=6，AD=12，AE=8，利用勾股定理求得BE的長，由DE=AB-AE，求得DE的長，繼而求得EF的長．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵AB=6，AD=12，AE=8，
∴BE==10，DE=AD-AE=12-8=4，
∴，
解得：EF=．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及勾股定理等知識．此題難度不大，注意掌握有兩角對應相等的三角形相似定理的應用是解此題的關鍵．