Question

二次函數y=（x+2）²的圖象的頂點為A，與y軸交于點B，以AB為邊在第二象限內作等邊三角形ABC．
（1）求直線AB的表達式和點C的坐標．
（2）點M（m，1）在第二象限，且△ABM的面積等于△ABC的面積，求點M的坐標．
（3）以x軸上的點N為圓心，1為半徑的圓，與以點C為圓心，CM的長為半徑的圓相切，直接寫出點N的坐標．

Answer 1

解：（1）二次函數y=（x+2）²的圖象的頂點A（-2，0），與y軸的交點B（0，2），
設直線AB的表達式為y=kx+b（k≠0），
可求得 k=，b=2．所以直線AB的表達式為y=x+2．
可得∠BAO=30°，∵∠BAC=60°，
∴∠CAO=90°．
在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=4．
∴AC=4．點C（-2，4）．

（2）∵點C、M都在第二象限，且△ABM的面積等于△ABC的面積，
∴CM∥AB．
設直線CM的表達式為y=x+m，點C（-2，4）在直線CM上，
可得 m=6．
∴直線CM的表達式為y=x+6．
可得點M的坐標：（-5，1）．

（3）由C（-2，4）、M（-5，1）可得：
CM==6．
①當⊙C與⊙N外切時，CN=CM+1=7；
在Rt△CAN中，AN===；
∴ON=AN+OA=+2或ON=AN-OA=-2
即：點N的坐標為：（--2，0）、（-2，0）．
②當⊙C與⊙N內切時，CN=CM-1=5；
在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，則AN=3；
∴ON=AN+OA=3+2或ON=OA-AN=2-3
即：點N的坐標為：（-3-2，0），（3-2，0）．
綜上可知：
點N的坐標（-3-2，0），（3-2，0），（--2，0），（-2，0）．
分析：（1）已知拋物線的解析式，其頂點以及函數圖象與y軸交點坐標易求得．在求點C的坐標時，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），顯然，若△ABC是等邊三角形，那么AC與x軸垂直，無論通過勾股定理求邊長還是根據B點在AC的中垂線上，都能比較容易的求出點C的坐標．
（2）“M點在第二象限內”確定了點M的大致范圍，若“△ABM的面積等于△ABC的面積”，以AB為底邊進行分析，那么點C、點M到直線AB的距離是相同的，即CM∥AB，直線AB的解析式易求，兩直線平行則斜率相同，再代入點C的坐標就能通過待定系數法求出直線CM的解析式，然后代入點M的縱坐標即可得出結論．
（3）首先求出⊙C的半徑，即CM的長．若⊙C與⊙N相切，就要分兩種情況來考慮：①外切，CN長等于兩圓的半徑和；②內切，CN長等于兩圓的半徑差．
在明確CN長的情況下，在Rt△CAN中，通過勾股定理求出AN的長，進一步即可確定點N的坐標．
點評：這道二次函數題涵蓋了勾股定理、圖形面積的求法、圓與圓的位置關系等重要知識．最后一個小題中，一定要將外切和內切都考慮在內，以免出現漏解的情況．