Question

（2000•山西）已知：如圖，在直角坐標系中，⊙C與y軸相切，且C點的坐標為（1，0），直線l過點A（-1，0）與⊙C切于D點．
（1）求直線l的解析式；
（2）在直線l上存在點P，使△APC為等腰三角形，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)直線l的解析式是y=kx+b，由三角形的有關(guān)性質(zhì)可得A、B的坐標，用待定系數(shù)法容易求得直線的解析式，
（2）根據(jù)題意，B在AC的垂直平分線上，故△ABC為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)，易得答案．
解答：解：（1）如圖①，設(shè)直線l的解析式是y=kx+b，
連接DC，則∠ADC=90°，DC=1，AC=2，
∵△DOC為等邊三角形，
∴∠DAC=30°；
設(shè)l與y軸的交點為B（0，y），則y=OAtan30°=．
由B（0，），A（-1，0）；
用待定系數(shù)法求得直線的解析式是y=x+，
或設(shè)D（x，y），作DM⊥x軸于M，
在Rt△ADC中：AD=
y=AD=，AM=AD•cos30°=，
x=-1=，
由D（，）與S（-1，0），
用待定系數(shù)法求解直線的解析式是：y=x+

（2）方法一：如圖①．
①∵B在AC的垂直平分線上，∴△ABC為等腰三角形，
∴B即為所求的一個點P，即P₁（0，）
②設(shè)P₂（x₂，y₂）在直線l上，∵△CAP₂為等腰三角形，
∴作P₂G⊥x軸于G．在Rt△AGP₂中，∵∠GAP₂=30°，∴P₂G=AP₂=1
∴AG=，∴P₂（--1，-1）（8分）
③設(shè)P₃（x₃，y₃）在直線l上，∵△CAP₃為等腰三角形，∴P₃A=AC．
作P₃F=P₃A=1，AF=P₃Fcot30°=．∴P₃（-1，1）
④設(shè)P₄（x₄，y₄）在直線l上，連P₄C，
∵△CAP₄為等腰三角形，
∴P₄C=CA=2；
作P₄E’⊥x軸于E’，可證E’和E重合．
在Rt△P₄CE中，P₄C=2∠P₄CE=60°，
∴CE=P₄C=1，P₄E=，
∴P₄（2，），（12分）
∴所求的點P有4個，坐標分別是（0，），（--1，1），，（2，）
方法二：如圖②
設(shè)P₂（x₂，y₂）在l上，
∴P₂滿足l的解析式，
則P₂（x₂，x₂+），且△CAP₂為等腰三角形，
∴P₂C=AC=2，
作P₂E’⊥x軸于E’，可證E’和E重合，在Rt△P₂CE中，
（x₂-1）²+[（x₂+1）]²=2²，
解之，得x₂=2或x₂=-1；
而x₂=-1不合題意，舍去，
∴P₂（2，）．
③設(shè)P₃（x₃，y₃）在l上，
∴P₃滿足l的解析式．則P₃（x₃，x₃+），
且△CAP₃為等腰三角形，∴P₃A=AC=2；
作P₃F⊥x軸于F．在Rt△P₃FA中，（-1-x₃）²+[（x₃+1）]²=2²，
（x₃+1）²+（x₃+1）²=4；
解之，得x₃=-1，或x₃=--1，
∴滿足△CAP₃為等腰三角形的點P₃有兩個，
即P₃（-1，1）或（--1，-1）；
∴所求的點P有4個，坐標分別是（0，），（2，），（-1，1），（--1，-1）．
點評：此題把一次函數(shù)與三角形、圓相結(jié)合，考查了同學們綜合運用所學知識的能力，是一道綜合性較好的題目，有一定的難度．