Question

如圖，半徑為6.5的⊙O′經過原點O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB（OA＞OB）的長分別是方程x²+kx+60=0的兩根．
（1）求A、B兩點的距離；
（2）求點A和點B的坐標；
（3）已知點C在劣弧OA上，連接BC交OA于D，當OC²=CD•BC時，求點C的坐標；
（4）在⊙O′上是否存在點P，使△ABD的面積等于△POD的面積，即S_△ABD=S_△POD？若存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

Answer 1

分析：（1）由于∠BOA=90°，根據圓周角定理可知：AB的長即為圓的直徑；
（2）可在直角三角形OBA中，根據勾股定理和韋達定理來求出OA，OB的長；
（3）已知了OC²=CD•BC，那么三角形OCD和BCO相似，因此∠OBC=∠DOC，此時可得出弧OC=弧CA，即C是劣弧OA的中點，如果連接O′C，根據垂徑定理可得出O′C垂直平分OA，由此可求出C點的坐標；
（4）如果設O′C和OA的交點為E，可根據相似三角形OBD和ECD求出OD的長，那么如果S_△ABD=S_△POD，可據此求出三角形POD中OD邊上的高，然后同圓O′中點到x軸的最大距離進行比較即可得出P是否在圓上．

解答：解：（1）連接AB．
∵∠BOA=90°，
∴AB是⊙的直徑．
∴AB=13；

（2）∵OA²+OB²=AB²
即（OA+OB）²-2OA•OB=169
又∵OA、OB是方程x²+kx+60=0的兩根
∴OA+OB=-k，OA•OB=60
∴k²-120=169．
∴k=17，k=-17．
∵OA+OB=-k＞0，
∴k＜0，
∴k=-17．
方程是x²-17x+60=0解出x=12，x=5．
∵OA＞OB，
∴OA=12，OB=5；

（3）連接O′C，交AO于E
由OC²=CD•CB，得

OC

CD

=

CB

OC

．
又∵∠OCB=∠DCO，
∴△OCB∽△DCO．
∴∠COD=∠CBO，
∴弧AC=弧OC，O′C⊥OA．
∴OE=AE=6，CE=O′C-O′E=O′C-

1

2

OB=-4．
∴C點坐標是（6，-4）；

（4）假定在⊙上存在點P，使S_△ABD=S_△POD．
∵OB∥EC
∴△OBD∽△ECD
∴

OB

EC

=

OD

ED

即

5

4

=

OD

6-OD

解得OD=

10

3

．
∴S_△ABD=

1

2

AD•BO=

65

3

，
∴S_△POD=

65

3

在中，OD邊上的高為13，即點P到x軸的距離為13，
∵⊙上的點到x軸的最大距離為9，
∴點P不在⊙上，
故在⊙上不存在點P，使S_△ABD=S_△POD．

點評：本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．