Question

將兩塊大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B₁A₁C＝30°）按圖①的方式放置，固定三角板A₁B₁C，然后將三角板ABC繞直角頂點C順時針方向旋轉（旋轉角小于90°）至圖②所示的位置，AB與A₁C交于點E，AC與A₁B₁交于點F，AB與A₁B₁交于點O．

（1）求證：△BCE≌△B₁CF.
（2）當旋轉角等于30°時，AB與A₁B₁垂直嗎？請說明理由．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）垂直．理由見試題解析．

試題分析：（1）根據題意可知∠B=∠B₁，BC=B₁C，∠BCE=∠B₁CF，利用ASA即可證出△BCE≌△B₁CF；
（2）由旋轉角等于30°得出∠ECF=30°，所以∠FC B₁=60°，根據四邊形的內角和可知∠BO B₁的度數為360°﹣60°﹣60°﹣150°，最后計算出∠BOB′的度數即可．
試題解析：（1）證明：兩塊大小相同的含30°角的直角三角板，所以∠BCA=∠B₁CA₁，
∵∠BCA﹣∠A₁CA=∠B₁CA₁﹣∠A₁CA，即∠BCE=∠B₁CF，∵∠B=∠B₁，BC=B₁C，∠BCE=∠B₁CF，∴△BCE≌△B₁CF；
（2）解：AB與A₁B₁垂直，理由如下：旋轉角等于30°，即∠ECF=30°，所以∠FCB₁=60°，又∠B=∠B₁=60°，根據四邊形的內角和可知∠BOB₁的度數為360°﹣60°﹣60°﹣150°=90°，所以AB與A₁B₁垂直．