Question

如圖1和2，在20×20的等距網格（每格的寬和高均是1個單位長）中，Rt△ABC從點A與點M重合的位置開始，以每秒1個單位長的速度先向下平移，當BC邊與網的底部重合時，繼續同樣的速度向右平移，當點C與點P重合時，Rt△ABC停止移動．設運動時間為x秒，△QAC的面積為y．
（1）如圖1，當Rt△ABC向下平移到Rt△A₁B₁C₁的位置時，請你在網格中畫出Rt△A₁B₁C₁關于直線QN成軸對稱的圖形；
（2）如圖2，在Rt△ABC向下平移的過程中，請你求出y與x的函數關系式，并說明當x分別取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的過程中，請你說明當x取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最值分別是多少？為什么？（說明：在（3）中，將視你解答方法的創新程度，給予1～4分的加分）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平移的性質與軸對稱圖形的性質，可得答案；
（2）根據題意，先設平移平移時間為x秒，進而可得關系式y=2x+40；（0≤x≤16）；即可得出y取得最大值和最小值時x的值；
（3）與（2）的方法類似，注意面積計算方法的不同即可．
解答：解：（1）如圖1，△A₂B₂C₂是△A₁B₁C₁關于直線QN成軸對稱的圖形
；

（2）當△ABC以每秒1個單位長的速度向下平移x秒時（如圖2），
則有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S_梯形QMBC-S_△AMQ-S_△ABC
=（4+20）（x+4）-×20x-×4×4
=2x+40（0≤x≤16）．（6分）
由一次函數的性質可知：
當x=0時，y取得最小值，且y_最小=40，
當x=16時，y取得最大值，且y_最大=2×16+40=72；（8分）

（3）解法一：
當△ABC繼續以每秒1個單位長的速度向右平移時，
此時16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，
∴y=S_梯形BAQP-S_△CPQ-S_△ABC=（4+20）（36-x）-×20×（32-x）-×4×4
=-2x+104（16≤x≤32）．（10分）
由一次函數的性質可知：
當x=32時，y取得最小值，且y_最小=-2×32+104=40；
當x=16時，y取得最大值，且y_最大=-2×16+104=72．（12分）
解法二：
在△ABC自左向右平移的過程中，
△QAC在每一時刻的位置都對應著（2）中△QAC某一時刻的位置，
使得這樣的兩個三角形關于直線QN成軸對稱．
因此，根據軸對稱的性質，
只需考查△ABC在自上至下平移過程中△QAC面積的變化情況，
便可以知道△ABC在自左向右平移過程中△QAC面積的變化情況．（10分）（另加2分）
當x=16時，y取得最大值，且y_最大=72，
當x=32時，y取得最小值，且y_最小=40．（12分）（再加2分）

說明：（1）本題解法較多，對于其他正確解法，請參照評分標準按步驟給分；
（2）對于（3），如果學生按照解法一的方法求解，不加分．如果按照解法二利用圖形變換的方法說明，可考慮加1～4分．
點評：本題考查平移的基本性質與運用：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．