Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，以AC為腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，連接BE，交AD于點F，交AC于點G．

（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度數；

（2）求證：∠AEB=∠ACF；

（3）求證：EF2+BF2=2AC2．

Answer 1

【答案】（1）∠AEB=25°；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據等腰三角形的性質可得∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根據三角形內角和定理求出即可；

（2）根據等腰三角形的性質得出∠BAF=∠CAF，由SAS得出△BAF≌△CAF，從而得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；

（3）根據全等得出BF=CF，由已知得到∠CFG=∠EAG=90°，由勾股定理得出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2， EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得到答案.

試題解析：（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，

又∵∠BAC=40°，∠EAC=90°，∴∠BAE=40°+90°=130°，∴∠AEB=（180°﹣130°）÷2=25°；

（2）∵AB=AC，D是BC的中點，∴∠BAF=∠CAF．

在△BAF和△CAF中，∴△BAF≌△CAF（SAS），∴∠ABF=∠ACF，

∵∠ABE=∠AEB，∴∠AEB=∠ACF；

（3）∵△BAF≌△CAF，∴BF=CF，∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，∴∠CFG=∠EAG=90°，

∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠CAE=90°，AC=AE，

∴EC2=AC2+AE2=2AC2，即EF2+BF2=2AC2．