Question

點P在等腰Rt△ABC的斜邊AB所在直線上，若記：k=AP²+BP²，則（ ）
A．滿足條件k＜2CP²的點P有且只有一個
B．B滿足條件k＜2CP²的點P有無數個
C．C滿足條件k=2CP²的點P有有限個
D．對直線AB上的所有點P，都有k=2CP²

Answer 1

【答案】分析：此題分兩種情況討論：①當P在線段AB上，②當P在直線AB上（線段AB以外的部分）；可利用勾股定理來探討符合要求的點P有哪些．
解答：解：當P為AB上時，假設P為中點時，AP=PB=PC，滿足條件，
當點P不為中點時，過點C作AB的垂線，亦滿足條件；
當點P在BA的延長線上時，過點P作PF⊥BC，PE⊥CA；
PC²=PF²+CF²，AP²=AE²+PE²=AE²+FC²=2CF²
PB²=BF²+PF²=PF²+（BC+CF）²=2PF²
AP²+PB²=2CF²+PF²+PF²
2PC²=2PF²+2CF²
所以AP²+PB²=2PC²，
即k=2CP²；
同理，當點P在AB的延長線上時，k=2CP²．
綜上可知：k=2CP²．
故選D．
點評：此題主要考查的是勾股定理的應用，解法并不復雜，難點在于將問題考慮全面．