Question

（1）已知

1+ 1 12 + 1 22

=

3

2

，

1+ 1 22 + 1 32

=

7

6

，

1+ 1 32 + 1 42

=

13

12

，…試猜測

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

的結果，并加以證明；

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2+n+1

n(n+1)

，
（2）s=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20052 + 1 20062

，
求不超過S的最大整數[s]．

Answer 1

分析：（1）觀察幾道算式可知，結果的分母為二次根式中兩個分母的積，分子比分母大1，由此得出一般規律；
（2）將一般規律的結果變形，即

n2+n+1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，再將n的值代入尋找抵消規律．

解答：解：（1）猜想：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2+n+1

n(n+1)

．
證明：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n2(n+1)2+2n(n+1)+1

n(n+1)

=

n2+n+1

n(n+1)

；
（2）∵

n2+n+1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴s=1+1-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+1+

1

3

-

1

4

+…+1+

1

2005

-

1

2006

=2005+1-

1

2006

=2005

2005

2006

，
∴[s]=2005．

點評：本題考查了二次根式的化簡求值．關鍵是根據算式發現一般規律，運用一般規律代值計算，尋找算式的抵消規律．