Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB邊上一點，∠BCE=15°，且AE=AD，連接DE交對角線AC于H，連接BH．下列結論：
①△ACD≌△ACE；②△CDE為等邊三角形；③；④，
其中結論正確的是    ．

Answer 1

【答案】分析：△AED與△ABC是等腰直角三角形，根據這個條件就可求得：△ACD≌△ACE的條件，就可進行判斷．
解答：解：∵∠ABC=90°，AB=BC
∴∠BAC=∠ACB=45°
又∵∠BAD=90°
∴∠BAC=∠DAC
又AD=AE，AC=AC
∴①△ACD≌△ACE；故①正確；

同理∠AED=45°
∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°
∴∠DEC=60°
∵ACD≌△ACE
∴CD=CE
∴②△CDE為等邊三角形．故②正確．

③∵△CHE為直三角形，且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°，
∴EC≠4EB，
∴=2不成立；

④作EC的中垂線交BC于點F，連接EF，則EF=FC，
∴∠FEC=∠BCE=15°，
∴∠BFE=30°，
設BE=a，
則EF=FC=2a，
在直角△BEF中，BF=a，
∴BC=a+2a=（2+）a，
∴S_△BEC=BE•BC=a²；
在直角△BEC中，EC==2，
∵△CDE為等邊三角形，
∴S_△ECD==（2+）=3+2，EH=，HC=EC=，
又∵△AED是等腰直角三角形，AH是高，
∴AH=EH=，
∴S_△EHC=，
∴====．故④正確；
故其中結論正確的是①②④．
點評：認識到題目中的等腰直角三角形是解決本題的關鍵．