Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，延長AB、ED交于點F，AD平分∠BAC．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AE=3，BF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據OA=OD和角平分線性質得出∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，得出∠ODE=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）根據平行線得出△ODF∽△AEF，得出比例式，代入求出即可．
解答：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠CAD（已知），
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴EF⊥OD，
即∠ODE=90°，
∵OD為半徑，
∴EF是⊙O的切線． 

（2）解：設⊙O的半徑為x．
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
即，
解得：x₁=2，x₂=（舍去）．     
∴⊙O的半徑為2．
點評：本題考查了切線的判定、相似三角形的性質和判定、角平分線性質、平行線的性質和判定，解（1）的關鍵是求出∠ODE=90°，解（2）的關鍵是得出關于r的方程．