Question

如圖，在?ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積．

Answer 1

分析：第（1）問要證明三角形全等，由平行四邊形的性質(zhì)，很容易用SAS證全等．
第（2）要求菱形的面積，在第（1）問的基礎(chǔ)上很快知道△ABE為等邊三角形．這樣菱形的高就可求了，用面積公式可求得．

解答：（1）證明：∵在?ABCD中，AB=CD，
∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．
又∵BE=EC=

1

2

BC，AF=DF=

1

2

AD，
∴BE=DF．
∴△ABE≌△CDF．

（2）解：∵四邊形AECF為菱形時，
∴AE=EC．
又∵點E是邊BC的中點，
∴BE=EC，即BE=AE．
又BC=2AB=4，
∴AB=

1

2

BC=BE，
∴AB=BE=AE，即△ABE為等邊三角形，（6分）
?ABCD的BC邊上的高為2×sin60°=

3

，（7分）
∴菱形AECF的面積為2

3

．（8分）

點評：考查了全等三角形，四邊形的知識以及邏輯推理能力．
（1）用SAS證全等；
（2）若四邊形AECF為菱形，則AE=EC=BE=AB，所以△ABE為等邊三角形．