Question

3、有18支足球隊進行單循環賽，每個參賽隊同其他各隊進行一場比賽，假設比賽的結果沒有平局，如果用a_i和b_i，分別表示第i（I=1，2，3…18）支球隊在整個賽程中勝與負的局數．求證：a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

Answer 1

分析：根據題意，作差比較，明確比賽規則下隱含的條件是解題的關鍵．

解答：解：由于每支球隊都要進行18-1=17場比賽，則對于第i支球隊有a_i+b_i=17，i=1，2，3，…18；由于比賽無平局，故所以參賽隊的勝與負的總局數相等，即a₁+a₂+…+a₁₈=b₁+b₂+…b_18．
由（a₁²+a₂²+…+a₁₈²）-（b₁²+b₂²+…+b₁₈²）
=（a₁²-b₁²）+（a₂²-b₂²）+…+（a₁₈²-b₁₈²）
=17×[（a1+a2+…+a18）-（b1+b2+…b18）]
=0．
得a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

點評：本題考查了等式證明問題，作差比較是非常常用的方法．找出比賽規則下隱含的條件是證題的關鍵．