Question

如圖，已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC=45°，F是AE上的點，G是點E關于F的對稱點，過點G作BC的平行線與AB交于H、與AC交于I，連接IF并延長交BC于J，連接HF并延長交BC于K．
（1）請你探索并判斷四邊形HIKJ是怎樣的四邊形？并對你得到的結論予以證明；
（2）當點F在AE上運動并使點H、I、K、J都在△ABC的三條邊上時，求線段AF長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△HFG≌△KFE，△IFG≌△JFE和HI∥BC可證HG=KE以及GI=JE，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
，即可證明；
（2）AF取最小值時，F無限接近AE中點，取最大值時，F無限接近E點，即F在以AE的中點與E兩點之間的線段上移動，且線段GI=JE不會大于BE．因而可求得AF的長的取值范圍．
解答：解：（1）四邊形HIJK是平行四邊形．理由如下：
∵HI∥BC，AE是BC邊上的高，
∴∠HGF=∠KEF，
又∵FG=FE，∠HFG=∠KFE，
∴△HFG≌△KFE，
∴HG=KE．
同理可證GI=JE，
∴HI=JK，
∴四邊形HIKJ是平行四邊形；

（2）設線段AF長的取值為x．
∵四邊形HIKJ是平行四邊形，
∴FG=EF，
∴AG=2x-5，
在△AGI與△AEC中，
∵HI∥BC
∴△AGI∽△AEC
∴，
，
GI=
由圖可知0＜GI≤BE，
即0＜≤5，
解得2.5＜x≤4．
故2.5＜AF≤4．
點評：已知對邊平行，再證明該對邊相等即可證明四邊形是平行四邊形．