Question

（2010•煙臺）如圖，已知拋物線y=x²+bx-3a過點A（1，0），B（0，-3），與x軸交于另一點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若在第三象限的拋物線上存在點P，使△PBC為以點B為直角頂點的直角三角形，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在一點Q，使以P，Q，B，C為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線y=x²+bx-3a過點A（1，0），B（0，-3），把兩點代入聯立解方程組求得a、b．
（2）令y=0，得x²+2x-3=0，可以解得C點坐標，過點P作PD⊥y軸，垂足為D，可證PD=BD，進而求出P點坐標．
（3）由（2）知，BC⊥BP當BP為直角梯形一底時，由圖象可知點Q不可能在拋物線上，若BC為直角梯形一底，BP為直角梯形腰時，可求出直線PQ的解析式，直線與拋物線聯立，求得P坐標．
解答：解：（1）把A（1，0），B（0，-3）代入y=x²+bx-3a，
得，
解得，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3；

（2）過點P作PD⊥y軸，垂足為D，
令y=0，得x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴點C（-3，0），
∵B（0，-3），
∴△BOC為等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∵PB⊥BC，
∴∠PBD=45°，
∴PD=BD．
∴可設點P（x，-3+x），
則有-3+x=x²+2x-3，
∴x=-1，
∴P點坐標為（-1，-4）；

（3）由（2）知，BC⊥BP，
（i）當BP為直角梯形一底時，由圖象可知點Q不可能在拋物線上；
（ii）當BC為直角梯形一底，BP為直角梯形腰時，
∵B（0，-3），C（-3，0），
∴直線BC的解析式為y=-x-3，
∵直線PQ∥BC，
∴直線PQ的解析式為y=-x+b，
又P（-1，-4），
∴PQ的解析式為：y=-x-5，
聯立方程組得，
解得x₁=-1，x₂=-2，
∴x=-2，y=-3，
即點Q（-2，-3），
∴符合條件的點Q的坐標為（-2，-3）．
點評：本題是二次函數的綜合題，涉及的知識面很廣，會求拋物線的解析式，直線和拋物線的交點問題．此題有點繁瑣．