Question

如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE．欲證直線CE與⊙O相切，只需證明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；
（2）在直角三角形ABC中，根據三角函數的定義可以求得AB=，然后根據勾股定理求得AC=，同理知DE=1；
方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO²=OE²+CE²，即=r²+3，從而易得r的值；
方法二、過點O作OM⊥AE于點M，在Rt△AMO中，根據三角函數的定義可以求得r的值．
解答：解：（1）直線CE與⊙O相切．…（1分）
理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；
又∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE；
連接OE，則∠DAC=∠AEO=∠DCE；
∵∠DCE+∠DEC=90°
∴∠AE0+∠DEC=90°
∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．
又OE是⊙O的半徑，
∴直線CE與⊙O相切．…（5分）

（2）∵tan∠ACB==，BC=2，
∴AB=BC•tan∠ACB=，
∴AC=；
又∵∠ACB=∠DCE，
∴tan∠DCE=tan∠ACB=，
∴DE=DC•tan∠DCE=1；
方法一：在Rt△CDE中，CE==，
連接OE，設⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，CO²=OE²+CE²，即=r²+3  
解得：r=
方法二：AE=AD-DE=1，過點O作OM⊥AE于點M，則AM=AE=
在Rt△AMO中，OA==÷=…（9分）
點評：本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；利用勾股定理計算線段的長．