Question

如圖，直線y=x+1分別交x軸，y軸于點A，C，點P是直線AC與雙曲線y=在第一象限內的交點，PB⊥x軸，垂足為點B，△APB的面積為4．
（1）求點P的坐標；
（2）求雙曲線的解析式及直線與雙曲線另一交點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出直線y=x+1與x軸，y軸于點A，C，根據點P在直線y=x+1上，可設點P的坐標為（m，m+1），根據S_△APB=AB•PB就可以得到關于m的方程，求出m的值．
（2）根據△APB的面積為4．就可以得到k=4，解反比例函數與一次函數解析式組成的方程組，就得到直線與雙曲線的交點．
解答：解：（1）y=x+1，令x=0，則y=1；令y=0，則x=-2，
∴點A的坐標為（-2，0），點C的坐標為（0，1）．（1分）
∵點P在直線y=x+1上，可設點P的坐標為（m，m+1），
又∵S_△APB=AB•PB=4，
∴（2+m）（m+1）=4．（2分）
即：m²+4m-12=0，
∴m₁=-6，m₂=2．
∵點P在第一象限，
∴m=2．（3分）
∴點P的坐標為（2，2）；（4分）

（2）∵點P在雙曲線y=上，
∴k=xy=2×2=4．（5分）
∴雙曲線的解析式為y=．（6分）
解方程組得，（8分）
∴直線與雙曲線另一交點Q的坐標為（-4，-1）．（9分）
點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，以及函數圖象上的點與解析式的關系，圖象上的點一定滿足函數解析式．