Question

如圖，已知拋物線y=a（x-1）²-與x軸交于A、B兩點（點A在左邊），且過點D（5，-3），頂點為M，直線MD交x軸于點F．
（1）求a的值；
（2）以AB為直徑畫⊙P，問：點D在⊙P上嗎？為什么？
（3）直線MD與⊙P存在怎樣的位置關系？請說明理由．

Answer 1

解：（1）把D（5，-3）代入y=a（x-1）²-，
得：a=．

（2）y=（x-1）²-，
令y=0，得：x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10．
∵AB為⊙P的直徑，
∴P（1，0），
∴⊙P的半徑r=5
過點D作DE⊥x軸于點E，則E（5，0）．
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD==5，
∴PD與⊙P的半徑相等，
∴點D在⊙P上．

（3）設直線MD的函數解析式為：y=kx+b（k≠0）
把M（1，-），D（5，-3）代入
得：，
∴，
∴直線MD的函數解析式為：y=x-．
設直線MD與x軸交于點F，
令y=0則0=x-，
得x=．
∴F（，0），
∴EF=-5=，
∴DF²=EF²+DE²=，
PF²=（OF-OP）²=（-1）²=，
DP²=25，
∴DP²+DF²=PF²
∴FD⊥DP，
又∵點D在⊙P上，
∴直線MD與⊙P相切．
分析：（1）將D（5，-3）代入解析式即可求出a的值；
（2）求出⊙P的半徑，計算出PD的長，與半徑比較即可判斷點D是否在⊙P上；
（3）由于MD經過半徑的外端，通過勾股定理的逆定理判斷出∠PDF=90°即可直線MD與⊙P相切．
點評：此題是一道結論開放性題目，考查了點和圓的位置關系、直線和圓的位置關系，通過函數解析式求出相應點的坐標及線段的長，是解答此題的必要環節．