Question

已知△ABC內接于以AB為直徑的⊙O，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點D，且DA：AB=1：2．
（1）求∠CDB的度數；
（2）在切線DC上截取CE=CD，連接EB，判斷直線EB與⊙O的位置關系，并證明；
（3）利用圖中已標明的字母，連接線段，找出至少5對相似三角形（不包含全等，不需要證明）．

Answer 1

解：（1）如圖，連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°．
設⊙O的半徑為R，則AB=2R，
∵DA：AB=1：2，
∴DA=R，DO=2R．
在Rt△DOC中，sin∠CDO=．
∴∠CDO=30°，即∠CDB=30°．

（2）直線EB與⊙O相切．
證明：連接OC，
由（1）可知∠CDO=30°，
∴∠COD=60°．
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
∴∠CBD=∠CDB．
∴CD=CB．
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCE=90°．
∴∠ECB=60°．
又∵CD=CE，
∴CB=CE．
∴△CBE為等邊三角形．
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°．
∴EB是⊙O的切線．

（3）如圖，連接OE，
相似三角形有△CDO與△BDE，△CEO與△BDE，△BEO與△BDE，△CBA與△BDE，△OAC與△BCE，△DAC與△DCB與△DOE，△BOC與△DCB與△DOE．
分析：（1）根據DA：AB=1：2，得到DA等于圓的半徑．連接過切點的半徑，構造直角三角形，利用解直角三角形的知識求解；
（2）連接OC．根據（1）中的結論，可以知道直角△COD有一個角為30°．根據圓周角定理發現∠ABC=30°，得到CD=BC，∠BCE=60°．進一步得到等邊△BCE．則∠DBE=90°．根據切線的判定即可證明．
（3）根據上述求得的有關角的度數，找到30°的直角三角形以及等邊三角形中的不全等但相似的三角形即可．
點評：考查了切線的性質及其證明方法，熟練運用銳角三角函數進行解直角三角形．