Question

已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，且點O₂在⊙O₁上．
（1）如圖1，AD是⊙O₂的直徑，連接DB并延長交⊙O₁于C，求證：CO₂⊥AD；
（2）如圖2，如果AD是⊙O₂的一條弦，連接DB并延長交⊙O于C，那么CO₂所在直線是否與AD垂直？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB．根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ABD=90°；根據等弧所對的圓周角相等，得∠A=∠C，再進一步根據兩角對應相等，得△ABD∽△CO₂D，從而證明結論；
（2）連接AO₂并延長交圓于E，連接DE、AB．根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ADE=90°；根據等弧所對的圓周角相等，得∠C=∠1=∠2，從而證明∠ADC+∠C=90°，證明結論．
解答：（1）證明：連接AB，
∵AD是⊙O₂的直徑，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠D（公共角），∠A=∠C（同弧所對的圓周角相等），
∴△ABD∽△CO₂D，
∴∠ABD=∠CO₂D=90°，
即CO₂⊥AD．

（2）解：CO₂⊥AD．理由如下：
連接AO₂并延長交圓于E，連接DE、AB，
∵AE是圓的直徑，
∴∠ADE=90°，
又∠C=∠1=∠2，
∴∠ADC+∠C=90°，
則CO₂⊥AD．
點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、相似三角形的判定和性質．連接公共弦和構造直徑所對的圓周角是圓中常見的輔助線．