Question

【題目】若兩個二次函數圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數”.

(1)請寫出兩個為“同簇二次函數”的函數.

(2)已知關于x的二次函數y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的圖象經過點A(1，1)，若y1+y2與y1為“同簇二次函數”，求函數y2的表達式，并求當0≤x≤3時，y2的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) y=（x－1）2+3和y=2（x－1）2+3（答案不唯一）；(2)y2 =x2 -2x+1，0.

【解析】

（1）根據“同簇二次函數”的定義寫出兩個即可；

（2）將A代入y1=2x24mx+2m2+1中，可求出y1與x的函數關系式，并求出此拋物線的頂點坐標，從而求出y1+y2與x的函數關系式，再根據“同簇二次函數”的定義即可求出b、c，從而求出函數y2的表達式，最后根據二次函數的性質自變量的取值范圍和對稱軸的位置關系求最值即可.

(1)根據“同簇二次函數”的定義：兩個二次函數圖象的頂點，開口方向都相同，

故這兩個二次函數可以為：y=（x－1）2+3和y=2（x－1）2+3；

(2)把A(1,1)代入y1=2x24mx+2m2+1得24m+2m2+1=1，

解得m=1，則y1=2x24x+3=2（x－1）2+1,

∴y1=2x24x+3頂點坐標為（1,1），且y1+y2=3x2+（b4）x+c+3

∵y1+y2與y1為“同簇二次函數”

∴

解得：b=-2，c=1

y2 =x2 -2x+1

此拋物線的開口向上，對稱軸為：

∴0≤x≤3包含對稱軸

∴當時，y2取最小值，此時y2=0，當x=3時，y2取最大值，此時y2=4

∴0