Question

如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內切圓圓心O，且點E在半圓弧上．
①若正方形的頂點F也在半圓弧上，則半圓的半徑與正方形邊長的比是

 

；
②若正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內切圓半徑r=4，則半圓的直徑AB=

 

．

Answer 1

分析：①根據圓和正方形的對稱性可知：GH=

1

2

DG=

1

2

GF，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得HF=

5

a，從而用含a的代數式表示半圓的半徑為

5

a，正方形邊長為2a，所以可求得半圓的半徑與正方形邊長的比；
②連接EB、AE，OH、OI，可得OHCI是正方形，且邊長是4，可設BD=x，AD=y，則BD=BH=x，AD=AI=y，分別利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作為相等關系列方程組求解即可求得半圓的直徑AB=21．

解答：解：①如圖，根據圓和正方形的對稱性可知：GH=

1

2

DG=

1

2

GF，
H為半圓的圓心，不妨設GH=a，則GF=2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=

5

a．由此可得，半圓的半徑為

5

a，正方形邊長為2a，
所以半圓的半徑與正方形邊長的比是

5

a：2a=

5

：2；

②因為正方形DEFG的面積為100，所以正方形DEFG邊長為10．
連接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切線，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形OICJ是正方形，且邊長是4，
設BD=x，AD=y，則BD=BI=x，AD=AJ=y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）²+（y+4）²=（x+y）²①；
在直角三角形AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
于是得到ED²=AD•BD，即10²=x•y②．
解①式和②式，得x+y=21，
即半圓的直徑AB=21．

點評：本題綜合考查了圓、三角形、方程等知識，是一道綜合性很強的題目，難度偏上，需要正確理解相關知識點及懂得運用方能很好的解答本題．